Что лучше сделать с пасынками?

Пасынки обязательно удалите, а то они забирают всю силу

Пасынки обязательно нужно удалять. У фиалки должна быть одна точка роста, исключение - сорта-трейлеры, но это не Ваш случай. Причиной такого усиленного пасынкования может быть излишне питательная почва, хотя иногда это бывает сортовой особенностью.

И да, пасынки препятствуют цветению - в пазухе листа, где образовался пасынок, уже вряд ли в будущем образуется цветонос.

Пасынкование - не обязательно сортовая особенность. Например, три из моих химер - две полумини и одна стандартная, очень сильно запасынковались сразу после пересадки их во взрослые горшочки. Особенно "отличилась" в этом плане химера Strawberry Spinner (Sorano) и Балчуг Полет (Игорь Милехин). Немного "отстала" в этом плане полумини Cathy's Fireworks . Читала, что химеры не любят пасынковаться, у меня же сейчас "завал" укорененных пасынков. Естественно, так как это химеры , я подрастила пасынки, сняла и укоренила. После снятия пасынков все растения стали набирать бутоны. Сейчас все три "многодетных" химеры цветут, причем розетки полуминек выглядят так, будто ничего и не было, а вот розетка стандартной химеры Strawberry Spinner сильно перекошена. Так что, если хотите, можете оставить пасынки для размножения, но потом довольно долго придется возиться с розеткой, чтобы она пришла в норму, а вообще у обычных сортовых фиалок, которые легко размножаются листьями, я удаляю все пасынки сразу, еще на стадии их формирования.

Рост пасынков и рост цветоносов - это два совершенно разных в гормональном отношении процесса, поэтому выбирайте одно из двух: либо ваша фиалка растит пасынки, либо она растит цветоносы. Бывает и третье - пасынки и цветоносы, но в этом случае никогда не рассчитывайте на хорошее и обильное (а тем более "шапочное"!) цветение.

К слову - иногда излишнее пасынкование признак проблем с корневой системой - т.е. растение старается успеть дать потомство при постепенном отмирании. Это так просто, не для страха - но у меня было пару раз в обычных сортах где сроду не было пасынков - хотела удалить их и увидела что часть стержня уже испорчена - пришлось полностью переукоренять растение. И конечно особенность сорта может быть - у некоторых просто не успеваешь удалять эти пасынки - если долго доращивать пасынок для дальнейшего укоренения - основное растение станет кривое и слаборазвитое - тоже не вариант...

Как верно отметила Евгения, прежде всего, пасынки - следствие  слишком питательного субстрата, с большим содержанием азота, и, относительно него, меньшим содержанием фосфора, почему образовываются не цветоносы, а пасынки. Потому и не цветет.

Необходимо проанализировать состав субстрата и состав/количество(с учетом NPK)/периодичность внесения удобрений.

Если растение на фитиле, то даже в не очень питательном изначально субстрате любая органика обильно разлагается с образованием азота, причем в легко усваиваемой форме.

Ко всему, нужно учесть, что вода для фитильного полива почти постоянно содержит микродозу удобрения.

Уже отмечали, что склонность к пасынкованию - часто генетически сортовой признак. У одних сортов она выражена очень сильно, у других - нет.

Как правило, пасынкуются молодые растения. Усиливается пасынкование и при омолаживании взрослых растений - опять же -  они содержатся в комфортных условиях повышенной влажности в тепличках в свежем питательном субстрате.

Еще частая причина  пасынкования - выращивание в несоразмерных – больших горшках.