Определение коэффициентов влияния параметров

Последние актуальные обсуждения методов отбора социальных продавцов показали склонность некоторых авторов к использованию математических методов оценки систем. Системами (или альтернативами) в данном случае являются кандидаты в социальные продавцы.

При анализе и оценке систем часто приходится учитывать несколько различных по важности параметров. Для определения коэффициентов влияния параметров применяют различные методы. Я хочу познакомить вас с достаточно простым и в то же время почти универсальным методом анализа иерархий (МАИ).

Авторы МАИ – американские ученые Т.Саати и К.Кернс разработали его в начале 1970-х г.г.

Метод анализа иерархий является систематической процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям. В результате может быть численно выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.

Первый этап решения проблемы предусматривает структурирование проблем в виде иерархии. В наиболее элементарном виде иерархия строится с вершины (целей — с точки зрения управления), через промежуточные уровни (критерии, от которых зависят последующие уровни) к самому низкому уровню (который обычно является перечнем альтернатив).

Закон иерархической непрерывности требует, чтобы элементы нижнего уровня иерархии были сравнимы попарно по отношению к элементам следующего уровня и т.д. вплоть до вершины иерархии.

Для проведения субъективных парных сравнений элементов одного уровня по отношению к элементам вышележащего уровня разработана шкала относительной важности. Она позволяет легко перевести качественное сравнение в баллы.

Шкала относительной важности

Когда проблемы представлены иерархически, составляется матрица для сравнения относительной важности критериев на втором уровне по отношению к общей цели на первом уровне. Подобные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне по отношению к критериям второго уровня.

Клетки этих матриц заполняются оценками или суждениями об относительной важности сравниваемых отдельных критериев по отношению к цели, или альтернатив по отношению к критерию.

На примере показано заполнение матрицы парных сравнений критериев для выбора работы, если претендент рассматривает три важных для него критерия: возможность карьерного роста, доходы и репутация фирмы. Претендент считает, что возможность карьерного роста незначительно важнее доходов ( 2 балла), репутация фирмы имеет умеренное превосходство над возможностью карьерного роста (оценка 3) и незначительное над доходами (оценка 2). 

Из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов выбранного уровня на элемент примыкающего сверху уровня. Находим относительную ценность каждого отдельного элемента через «решение» матриц, каждая из которых обладает обратносимметричными свойствами. Для этого нужно вычислить множество собственных векторов для каждой матрицы, а затем нормализовать результат к единице, получая тем самым вектор приоритетов.

Вычисление собственных векторов — не очень сложная задача, причем имеются несложные способы получения хорошего приближения к приоритетам, например среднее геометрическое. Полученный таким образом столбец чисел нормализуется делением каждого числа на сумму всех чисел. Таким образом, мы можем определить не только порядок приоритетов каждого отдельного элемента, но и величину его приоритета.

Теперь обратимся к принципу синтеза. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. (Каждый элемент второго уровня умножается на единицу, т. е. на вес единственной цели самого верхнего уровня.) Это дает составной, или глобальный, приоритет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отношению к нему как к критерию и расположенных уровнем ниже. Процедура продолжается до самого нижнего уровня.

В нашем случае целью является формирование списка продавцов, критерии отбора - параметр1 (количество статей по уходу в блоге автора за последний месяц), параметр2 (в скольких темах участвовали за последний месяц), параметр3 (сколько статей проголосовали за последний месяц), перечень альтернатив – кандидаты в социальные продавцы. Однако перед нами не стоит задача вычисления глобальных приоритетов среди кандидатов. В результате активного обсуждения определился некоторый проходной балл для кандидатов, а вот коэффициенты важности критериев пока не определены. Поэтому нам достаточно вычислить вектор локальных приоритетов для критериев, те самые коэффициенты k1, k2, k3, которые используются в формуле, предложенной Денисом Никитиным http://www.fialki.ru/comment/104053#comment-104053. Для этого достаточно заполнить простую таблицу парных сравнений параметров. Например, мнение может быть таким:

Полезным побочным продуктом теории является так называемый индекс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения численной и транзитивной (порядковой) согласованности. Для улучшения согласованности можно рекомендовать пересмотр данных.У каждого из нас может быть свой субъективный взгляд, и у каждого получится свой вектор локальных приоритетов критериев. Но потом достаточно вычислить среднее значение всех векторов и найдем нужные нам коэффициенты k1, k2, k3. Поэтому предлагаю заполнить такие таблицы тем, кто принимает активное участие в обсуждении темы. А подсчет локальных приоритетов в Excel и осреднение не займет у меня много времени

Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Когда такие отклонения превышают установленные пределы, тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.

Индекс согласованности в каждой матрице и для всей иерархии может быть приближенно получен вычислениями вручную. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца — на вторую компоненту и т. д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом, можно получить величину, обозначаемую λmax. Для индекса согласованности имеем ИС = (λmax - n) / (n-1), где n — число сравниваемых элементов. Для обратносимметричной матрицы всегда λmax ≥ n.

Сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из шкалы 1/9, 1/8, 1/7,..., 1,2, ...,9, при образовании обратносимметричной матрицы. Данные следующей таблицы получены на основе статистических вычислений.

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. Если ОС выходит из этих пределов, то нужно исследовать задачу и проверить свои суждения. Как показывает опыт применения метода на учебных занятиях, в матрицах маленького размера достаточно хорошая согласованность и противоречий в суждениях обычно не возникает.

Добавлено 10 мая.

Создала для наглядности таблицу Google:

https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?...

В ней вы можете попробовать "поиграть" с матрицей парных сравнений и посмотреть, что получается. Все расчеты в таблице связаны формулами (желающим они доступны, но не стоит их изменять!). Ячейки, в которых вы можете внести свои субъективные оценки относительной важности параметров, выделены желтым цветом. 

Как заполняется таблица. Мысленно задаем себе вопрос: что является более значимым для развития сайта, параметр 1 или параметр 2? Если параметр 1 (количество статей за месяц), то в ячейку C2 нужно поставить число от 1 до 9 в зависимости от того, насколько параметр 1 превосходит по значимости параметр 2 (см. выше шкалу относительной важности). Если же параметр 1 по вашему мнению менее значим, чем параметр 2, то в ячейку C2 нужно записать дробь. Аналогичные вопросы нужно задать себе для сравнения значимости параметра 1 и параметра 2 (заполнить ячейку D2), параметра 2 и параметра 3 (заполнить ячейку D3). Вектор локальных приоритетов параметров и проверка согласованности суждений автоматически пересчитываются. Коэффициенты влияния параметров получены умножением вектора локальных приоритетов на 10. 

В нижней таблице в ячейках желтого цвета я попробовала оценить активность неких условных претендентов. Надеюсь, что эти таблицы помогут с выбором коэффициентов. Более того, если количество параметров для оценки деятельности претендентов увеличится, то таблица легко модифицируется.